Zinseszinsformel umstellen: Laufzeit, Zinssatz und Anfangskapital berechnen

Die Zinseszinsformel verbindet vier Größen. Sind drei davon bekannt, lässt sich die vierte durch Umstellen berechnen. Jede Umstellung macht eine Rechenoperation rückgängig: Die Division hebt die Multiplikation mit K_0 auf, die Wurzel das Potenzieren mit n, der Logarithmus holt n aus dem Exponenten.

K_n = K_0 · q^n mit q = 1 + p/100

K_0

Anfangskapital, auch Barwert: der Betrag, der heute angelegt wird.

K_n

Endkapital nach n Jahren, inklusive aller Zinsen und Zinseszinsen.

p

Zinssatz in Prozent pro Jahr. In der Formel steht er als Zinsfaktor q: Aus 4 % wird q = 1,04.

n

Laufzeit in Jahren, genauer: Zahl der Zinsperioden. Bei unterjähriger Gutschrift ändert sich die Periode.

Die Laufzeit steht in der Formel im Exponenten. Um sie herunterzuholen, wird auf beiden Seiten der Logarithmus genommen; nach dem Logarithmengesetz ln(q^n) = n · ln q wird aus der Potenz ein Produkt. Welcher Logarithmus verwendet wird, ist egal, solange Zähler und Nenner denselben benutzen: ln, lg oder log zur Basis q führen zum gleichen Ergebnis.

1. K_n = K_0 · q^n durch K_0 teilen: K_n / K_0 = q^n
2. Logarithmieren: ln(K_n / K_0) = n · ln q
3. Durch ln q teilen: n = ln(K_n / K_0) / ln q

10.000 € → 15.000 € bei 4 %: n = ln 1,5 / ln 1,04 = 0,40547 / 0,03922 = 10,34 Jahre

Das Ergebnis ist selten eine ganze Zahl. Schreibt die Bank Zinsen nur einmal im Jahr gut, ist das Ziel erst nach der nächsten vollen Gutschrift erreicht, im Beispiel nach 11 Jahren: Nach 10 Jahren stehen 14.802,44 € auf dem Konto. Die Nachkommastellen zeigen, wie weit die letzte Periode schon fortgeschritten wäre, wenn das Kapital gleichmäßig weiterwüchse.

Für die Verdopplung ist K_n / K_0 = 2, also n = ln 2 / ln q. Weil ln 2 ≈ 0,693 und ln q bei kleinen Zinssätzen ungefähr p/100 ist, ergibt sich n ≈ 69,3 / p. Die bekannte 72er-Regel rundet auf 72, weil diese Zahl bei üblichen Zinssätzen von 4 bis 10 % genauer trifft und sich durch viele Zahlen glatt teilen lässt: Bei 6 % ergeben beide Wege rund 12 Jahre (exakt 11,90).

Ist der Zinssatz gesucht, steht die Unbekannte in der Basis der Potenz. Hier hilft die n-te Wurzel, die das Potenzieren rückgängig macht. Im Taschenrechner wird sie als Potenz mit dem Exponenten 1/n eingegeben, weil die Wurzeltaste meist nur die Quadratwurzel kennt; in Excel lautet die Eingabe =(7000/5000)^(1/8)-1.

1. Durch K_0 teilen: K_n / K_0 = q^n
2. n-te Wurzel ziehen: q = (K_n / K_0)^(1/n)
3. In Prozent umrechnen: p = 100 · (q − 1)

5.000 € → 7.000 € in 8 Jahren: 1,4^(1/8) = 1,04296 → p = 4,30 %

Ein häufiger Fehler ist, den Gesamtzuwachs durch die Jahre zu teilen: 40 % in 8 Jahren ergäben so 5 % pro Jahr. Das wäre einfache Verzinsung. Mit Zinseszins genügen 4,30 %, weil die Zinsen jedes Jahr auf einer größeren Basis berechnet werden. Dieselbe Formel liefert die durchschnittliche Jahresrendite einer Geldanlage aus Anfangs- und Endwert, wie sie beim Berechnen der Depot-Rendite gebraucht wird.

Das Anfangskapital zu einem bekannten Endwert heißt Barwert. Statt mit q^n zu multiplizieren, wird durch q^n geteilt: Der Betrag wird von der Zukunft auf heute abgezinst. Der Kehrwert 1/q^n heißt Abzinsungsfaktor. Er zeigt, wie viel ein Euro, der in n Jahren fällig ist, heute wert ist.

K_0 = K_n / q^n 20.000 € in 12 Jahren bei 3 %: 20.000 / 1,03^12 = 20.000 / 1,42576 = 14.027,60 €

Der Barwert sinkt umso stärker, je höher der Zins und je länger die Zeit. Bei 6 % statt 3 % müssten für dieselben 20.000 € in 12 Jahren nur 9.939,39 € angelegt werden. Banken und Versicherer nutzen genau diese Rechnung, um Zahlungen zu verschiedenen Zeitpunkten vergleichbar zu machen, etwa beim Vergleich einer Einmalzahlung mit einer späteren Auszahlung. Mit der Inflationsrate statt des Zinssatzes zeigt dieselbe Formel, was ein künftiger Betrag in heutiger Kaufkraft wert ist.

Bei regelmäßigen Einzahlungen gilt die Rentenendwertformel. Für Zahlungen am Ende jeder Periode (nachschüssig) lautet sie E = R · (q^N − 1) / i, für Zahlungen am Anfang (vorschüssig) kommt der Faktor q hinzu. Dabei ist R die Rate, i der Periodenzins als Dezimalzahl, q = 1 + i und N die Zahl der Raten. Bei monatlichen Raten müssen i und N monatlich sein: i = Jahreszins / 12, N = Jahre · 12.

1. Mit i multiplizieren und durch R teilen: E · i / R = q^N − 1
2. 1 addieren: E · i / R + 1 = q^N
3. Logarithmieren und durch ln q teilen: N = ln(E · i / R + 1) / ln q

300 € pro Monat, 5 % nominal, Ziel 100.000 €: i = 0,05/12; N = ln(100.000 · 0,0041667 / 300 + 1) / ln 1,0041667 = 209,4 Monate = 17,5 Jahre

Mit Startkapital K_0 kommt dessen Zinseszins hinzu: E = K_0 · q^N + R · (q^N − 1) / i. Nach q^N aufgelöst ergibt sich q^N = (E · i + R) / (K_0 · i + R) und damit N = ln((E · i + R) / (K_0 · i + R)) / ln q. Mit 20.000 € Startkapital verkürzt sich das Beispiel auf 150,5 Monate, also 12,5 Jahre.

Die Rate steht in der Sparplanformel als Faktor und lässt sich mit einem Schritt freistellen: durch den Faktor (q^N − 1) / i teilen. Bei vorschüssiger Zahlung wird zusätzlich durch q geteilt, weil jede Rate eine Periode länger verzinst wird.

nachschüssig: R = E · i / (q^N − 1) vorschüssig: R = E · i / ((q^N − 1) · q)

Mit Startkapital wird zuerst dessen Endwert vom Ziel abgezogen; nur die Lücke muss über Raten gefüllt werden. Ist das Startkapital allein schon groß genug, wird die Rate negativ: Das Ziel ist ohne weitere Einzahlung erreicht.

Der Zinssatz eines Sparplans lässt sich nicht geschlossen berechnen, weil die Gleichung ein Polynom N-ten Grades in q ist. Gelöst wird sie schrittweise: einen Zinssatz einsetzen, Endwert berechnen, je nach Abweichung den Zins erhöhen oder senken und den Bereich halbieren. Nach etwa 20 Schritten stimmt das Ergebnis auf vier Nachkommastellen. Beispiel: 150 € im Monat über 20 Jahre ergeben 70.000 € bei einem Monatszins von 0,507 %, also rund 6,08 % nominal oder 6,26 % effektiv.

Werden Zinsen m-mal im Jahr gutgeschrieben, ändern sich Zinsfaktor und Exponent: Der Periodenzins ist p/m, die Zahl der Perioden m · n. Das gilt für alle umgestellten Formeln gleichermaßen.

Beispiel: 5.000 € zu 5 % nominal, monatliche Gutschrift, 10 Jahre: 5.000 · (1 + 0,05/12)^120 = 8.235,05 €, bei jährlicher Gutschrift 8.144,47 €. Der Grenzfall unendlich vieler Gutschriften heißt stetige Verzinsung: K_n = K_0 · e^(r · n) mit r als Dezimalzahl. Umgestellt gilt n = ln(K_n / K_0) / r und r = ln(K_n / K_0) / n. Banken rechnen in der Praxis immer mit festen Perioden; die stetige Form ist in Mathematik- und Wirtschaftsunterricht verbreitet, weil sie sich einfacher umstellen lässt.

Tabellenkalkulationen haben für jede gesuchte Größe eine eigene Funktion. Einzahlungen werden dabei negativ, Auszahlungen positiv eingegeben; das letzte Argument F ist 0 für Zahlungen am Periodenende und 1 für den Periodenanfang.